Função quadrática inversa

Nesse post vamos aprender a achar a função inversa de uma função quadrática. Vocês verão que isso é bastante simples, basta prestar bastante atenção durante a sua leitura e fazer bastante exercícios.

Passo-a-passo:

Exercício 1: Considere a função f: R -> R, tal que f(x) = x² - 2x. Fazendo as modificações necessárias, transforme-a em uma função inversível e obtenha sua inversa.

• Passo 1: Descobrir qual a imagem da função f(x)

x² - 2x = 0

Como essa função tem concavidade para cima, para descobrir o seu valor mínimo devemos descobrir o Yv.

Yv = - Δ/ 4a
Yv = -(4 - 4(1)(0)) / 4(1)
Yv = -4/4 = -1

Portanto, a Im = [-1; + ∞[

• Passo 2: Trocar o x pelo y

Temos a equação: y = x² - 2x
Trocando, teremos:
x = y² - 2y

Ajeitando essa equação, teremos:
y² - 2y - x = 0

• Passo 3: Resolver a equação já invertida

Δ = (-2)² - 4(1)(-x)
Δ = 4 + 4x
Δ = 4(x + 1)

y = 2 +- 2√x + 1/ 2
y = 1 +- √x + 1

• Passo 4: Avaliar a imagem da função f(x) e ver qual valor de y está dentro dela

Temos:
1 + √x + 1
1 - √x + 1

A nossa imagem é do [-1; + ∞[

Portanto, o valor que estará nesse intervalo é o:
y = 1 + √ x + 1 

OBS: Não teria como o 1 - √x+ 1 estar nesse intervalo, porque ele seria menor do que -1, e isso não faria parte da imagem da f(x).


Vamos fazer um outro exemplo para que essa ideia fique clara:

Exercício 2: Obter a função inversa da função: 
f: R- -> [-1; + ∞[ tal que f(x) = x² - 1

• Passo 1: Trocar x por y

OBS: O enunciado já nos forneceu qual a imagem da função f(x), portanto teremos um passo a menos, já que se o exercício não desse, teríamos que descobrir.

y = x² - 1 
x = y² - 1
y² = x + 1
y = +- √ x + 1

• Passo 2: Avaliar qual a função que representa o f(x)-¹

ex:
Se x = 0
y = +- 1 

agora, se x = 3
y = +-4
Nesse caso já não pode valer, porque o intervalo que a função f(x)-¹ pertence vai do -1 a infinito, e portanto -4 não está incluído, portanto:

A função inversível será:
y = + √x+1


Espero que vocês tenham entendido, qual dúvida ou qualquer exercícios que vocês gostariam que eu resolvesse basta colocar nos comentários :)
Bom estudo galera!!