f(x) = a² + bx + c
Para determinamos as raízes da função (zeros da função), basta admitir que o f(x) = 0.
Devemos saber também o que é um quadrado perfeito, que nada mais é um número inteiro, não negativo, que pode ser expresso como o quadrado de um outro número, exemplo:
1² = 1
2² = 4
3² = 9
Ou seja, números que são quadrados perfeitos, como visto, são: 1, 4, 9, já que podem ser escritos como o quadrado de um outro número.
Bem, agora vamos na dedução de algumas fórmulas. Isso é importante porque muitas vezes queremos decorar todo tipo de fórmula, só que é muito mais fácil ENTENDERMOS o porquê daquela fórmula ser daquele jeito do que simplesmente ficar tentando "enfiar" aquilo em nossa cabeça.
- Discriminante (representado pelo delta):
Tendo a função: ax² + bx + c = 0, vamos multiplicá-la por 4a.
Resultado: 4a²x² + 4abx + 4ac = 0
Vamos adicionar nos dois membros um b² para conseguirmos formar um quadrado perfeito.
Resultado:
4a²x² + 4axb + 4ac + b² = b²
Temos agora um quadrado perfeito, que pode ser escrito como:
(2ax + b) ²
Conferindo: 4a²x² + 2*(2axb)(b) + b² = 4a²x² + 4axb + b²
Voltando a fórmula:
(2ax + b)² + 4ac = b²
Com isso:
(2ax + b)² = b² - 4ac
b² - 4ac é o resultado de um quadrado perfeito, ele vai discriminar a natureza das raízes (por isso é chamado de discriminante)
Vamos continuar os cálculos:
Colocando b² - 4ac = (Δ)
(2ax + b)² = √Δ
2ax + b = √Δ
x = -b ± √Δ/ 2a
Agora vocês sabem como se deu a construção da fórmula de Bhaskara.
- Soma das raízes:
Sendo as raízes x1 e x2, teremos:
x1 + x2 = -b + √Δ - b - √Δ / 2a
x1 + x2 = -2b/2a
x1 + x2 = -b/a
- Produto das raízes:
Sendo as raízes x1 e x2, teremos:
x1 * x2 = (-b + √Δ) * (- b - √Δ) = b² + b√Δ - b√Δ - √Δ²
2a * 2a 4a²
x1 * x2 = b² - (b² - 4ac) / 4a²
x1 * x2 = b² - b² + 4ac / 4a²
x1 * x2 = c/ a
- X do vértice:
Sabemos que o Xv é o ponto médio do segmento que une as raízes:
Vemos que x1xv = x2xv
E podemos afirmar também que Xv = x1 + x2/ 2
Vimos anterirormente que x1 + x2 = soma das raízes, que é -b/a
Substituindo:
Xv = -b/a/2
Xv = -b/2a
- Y do vértice:
Para obtermos o Yvértice, vamos substituir na função f(x), x = x do vértice
f(xv) = a²x + bx + c
Yv = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c
Yv = ab²/4a² - b²/2a + c
Yv = b²/4a - b²/2a + c
Yv = b² - 2b² + 4ac/4a
Yv = -b² + 4ac/4a
Yv = -(b² - 4ac)/4a
Yv = -Δ /4a
Com isso teremos as coordenadas (xv/yv) = (-b/a; -Δ /4a)
Espero ter ajudado!! :D
Qualquer dúvida, estamos aqui.
