1-) Um fazendeiro quer cercar uma área de 1,5 milhão de pés
quadrados num campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela
a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da
cerca?
2-) Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume de 32.000
cm². Encontre as dimensões da caixa que minimizar a quantidade de material
utilizado.
3-) Se 1.200 cm² de material estiverem disponíveis para fazer
uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível
da caixa.
4-) Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 10 m³. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa $10 por metro quadrado. O material para os lados custa $ 6 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato dos contêineres.
5-) As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a menor área.
Respostas:
1-
Essa é a figura que ele deseja cercar.
Sabemos que a área que ele quer cercar é: 1,5 milhões de pés
Logo A = 1.500.000 pés
Sabemos também que A = x.y = 1.500.000
O perímetro de cerca que vamos usar é:
P = 2x + 2y + x (referente a cortar esse campo ao meio)
O que temos que otimizar é o perímetro, ou seja, a quantidade de cerca gasta.
Vamos deixar o perímetro apenas em função de x:
y = 1.500.000/x
Logo:
P(x) = 3x + (2*1.500.000)/x
P(x) = 3x + 3.000.000/x
Derivando:
P'(x) = -3.000.000/x² + 3
P'(x) = (-3.000.000 + 3x²)/x²
Descobrindo os números críticos:
x = 0 e x = 1.000
Porém zero não pertence ao domínio.
Descobrindo o mínimo local, temos:
P'(1) < 0
P'(15000) > 0
Temos:
Logo, temos um mínimo local em x = 1000 pés
1.500.000 = x*y
1.500.000/1000 = y
y = 1500 pés
Conclui-se então que a forma de minimizar os custos da cerca é ter como dimensão dessa área a ser cercada x= 1000 pés e y = 1500 pés.
2-
V = x².y = 32.000 cm²
P = x² + 4x.y
y = 32.000/x²
P(x) = x² + x.32.000.4/x²
P(x) = x² + 128.000/x
P'(x) = 2x - 128.000/x²
P'(x) = (2x³ - 128.000)/x²
Se x = 0
2x³ - 128.000 = 0
x³ = 64.000
x = 40 cm
Descobrindo o mínimo local:
P'(1) < 0
P'(2) > 0
Logo para minimizar a quantidade de material usado x = 40 cm
x².y = 32.000
1600.y = 32.000
y = 20 cm
As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material gasto é x = 40 cm e y = 20 cm
3-
Perímetro: 1.200 = x² + 4x.y
Vol = x².y
y = (1200 - x²)/4x
V(x) = x².(1200 - x²)/4x
V(x) = x.(1200 - x²)/4
V(x) = 300x - x³/4
V'(x) = 300 - 3.x²/4
V'(x) = 0
Se 3x² 1200
x² = 400
x = 20 cm
Logo:
y = (1200 - (20)²)/ 4.20
y = 10
Com isso, temos que o maior volume possível da caixa, será:
V= x².y = (20)².10 = 4000 cm³
4-
V = x.2x.y = 2x².y = 10
A = 2x.x.10 + 2.x.y.6 + 2.2x.y.6
A = 20x² + 12xy + 24 xy
A = 20x² + 36xy
y = 10/2x²
y = 5/x²
Substituindo em A:
A(x) = 20x² + (36.x.5)/x²
A(x) = 20x² + 180/x
A'(x) = (40x³ - 180)/x²
40x³ - 180 = 0
x = 1,65
Encontrando o valor de y:
y = 5/x²
y = 1,836
A = 20.(1,65)² + 36.1,65.1,836
A = 163,5
Conclui-se então que o custo dos materiais para o mais barato de tais contêineres seria de $ 163,5.
5-
A(impressa) = x.y = 384
A(total) = (x + 8).(y + 12)
At = x.y + 12x + 8y + 96
y = 384/x
At(x) = 384 + 12x + 3072/x + 96
At(x) = 480 + 12x + 3072/x
A't(x) = 0 + 12 - 3072/x²
A't(x) = (12x² - 3072)/x²
A't(x) = 0
Se 12x² - 3072 = 0
x² = 3072/12
x = 16
Sendo assim, um dos lados do pôster é x + 6 = 16 + 6 = 22 cm
y = 384/16 = 24
O outro lado do pôster é y + 12 = 24 + 12 = 36 cm
Sendo assim a dimensão do pôster para que ele tenha a menor área é 22 cm x 36 cm
