Geometria Analítica

A Geometria Analítica é um assunto bastante extenso e que engloba diversas matérias, por isso farei observações durante a explicação tanto comentando matérias anteriores, como enviando links de alguns assuntos da matemática que servem como base para um perfeito entendimento dessa parte da Geometria. 

Conceito: A Geometria analítica é a parte da matemática que trata de resolver problemas cujo enunciado é geométrico, empregando processos algébricos.

Antes de mais nada é preciso conhecer o chamado: "Plano cartesiano"
O plano cartesiano é formado por dois eixos: eixo x (também chamado eixo das abscissas) e eixo y (chamado eixo das ordenadas). Esses eixos são ortogonais (ou seja, formam entre si um ângulo de 90º) e apresenta um ponto O, que é a Origem do sistema.

Nesse plano cartesiano colocaremos o chamado par ordenado (a, b). Essas letras representaram no gráfico os números que estarão respectivamente no eixo x e no eixo y.

Ou seja a = número que está sobre o eixo x
b = número que está sobre o eixo y

Ex: P = (15, 8)

Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões, chamadas: Primeiro quadrante, Segundo quadrante, Terceiro quadrante e Quarto quadrante.

Dessa forma:

OBSERVAÇÃO 1:

1. No primeiro quadrante quando colocarmos o par ordenado (a, b), teremos que a > 0 e b > 0.
2. No segundo quadrante quando colocarmos o par ordenado (a, b), teremos que a < 0 e b > 0.
3. No terceiro quadrante quando colocarmos o par ordenado (a, b), teremos que a < 0 e b < 0.
4. No quarto quadrante quando colocarmos o par  ordenado (a, b), teremos a > 0 e b < 0.

Isso é apenas uma observação para que não acha erro ao colocar os sinais + ou - nos números representados pelas letras "a e b".

OBSERVAÇÃO 2:

Quando tivermos um ponto "EM CIMA" do eixo x, quer dizer que o valor do eixo y é ZERO. E vice e versa.

Esse ponto é: P = (3, 0)

Bem, vamos para o próximo tópico:

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO:

Vamos estudar uma reta AB. Nela há um ponto C, que divide esse segmento ao meio, ou seja, o ponto C é o ponto média da reta AB. 

A partir dessa figura e dos dados acima, podemos concluir que AC = CB, já que C é o ponto médio da reta AB.

Concluímos também que AC/ CB = 1, a razão será 1 porque como as duas distâncias são iguais, todo valor dividido por ele mesmo, dá 1.

COORDENADAS DO PONTO C:

Para descobrirmos as coordenadas do ponto C, podemos usar o Teorema de Tales.

Lembrando:

Repare em nossa figura anterior que ela é semelhante ao Teorema de Tales. Isso porque nosso plano contém retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais que formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes.

Vou deixar de uma forma diferente esse gráfico, apenas para que vocês possam observar:

Como diz no Teorema de Tales, cada lado oposto é proporcionalmente correspondente ao outro. Ou seja:

ya - yc = AC

yc - yb = CB

A partir dessas relações, temos que:

Com os dados, conseguiremos descobrir a coordenada do ponto C no eixo y.

Para descobrirmos no eixo x, podemos rotacionar o plano cartesiano de forma que seja visível a utilização do Teorema de Tales, dessa forma:

Assim, estabelecemos a mesma relação, mudando apenas o eixo.

Vamos trabalhar com as duas relações que encontramos.

Primeiramente com a do eixo y:

Essa mesma relação acontecerá se fizermos isso com o eixo x, então teremos:

Ou seja, para descobrirmos as coordenadas de um PONTO MÉDIO, basta fazer a MÉDIA ARITMÉTICA DOS EXTREMOS.

COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO:


Sejam A (xa, ya), B (xb, yb)  e C (xc, yx) os vértices de um triângulo e G o baricentro, ou seja, o ponto de encontro das medianas, vamos determinar qual será as coordenadas desse ponto G.

• Em primeiro lugar temos que achar as coordenadas do ponto N (xn, yn)

Como estamos trabalhando com um baricentro, o ponto N é o segmento do vértice A que vai até o ponto médio do lado oposto a esse vértice. 
Como vimos anteriormente, usaremos a fórmula do ponto médio, que nada mais é do que fazer uma média artimética dos extremos, sendo eles B e C.

Ficará: 

Com essa fórmula vamos descobrir as coordenadas do ponto N.

• No segundo e último passo vamos descobrir as coordenadas do ponto G, que são aquelas que queríamos desde o ínicio.

Para descobrirmos as coordenadas do ponto G temos que nos lembrar de um IMPORTANTÍSSIMO detalhe do baricentro. Devemos nos lembrar que a razão entre os seus segmentos é: 2:1
Ou seja, o segmento AG é duas vezes maior que o segmento GN.
Enquanto no ponto médio a razão: BN/ NC = 1, a razão do ponto G será AG/ GN = 2/1


Depois desse detalhe podemos proceder normalmente, só que usando as mesmas propriedades do Teorema de Tales.

Bem, como no primeiro passo descobrimos quanto vale xn e yn, vamos substituir na relação acima, ficará:

Com isso descobriremos o par ordenado do ponto G.


Distância entre dois pontos:
Para determinar qual a distância entre dois pontos há 3 casos.

• 1º caso:

Para descobrir a distância nesse caso basta fazer:
AB = ya - yb

• 2º Caso:

Para descobrir a distância nesse caso, basta fazer:
AB = xb - xa

• 3º caso:

Para descobrirmos a distância nesse caso, faremos Pitágoras:
AB² = (xb - xa)² + (ya - yb)²



Área do triângulo:

Sabemos que para calcular a área do triângulo basta fazer: base * altura / 2. Mas, agora não vamos fazer totalmente dessa forma, vamos colocar um triângulo em um plano cartesiano e descobrir a sua área, certo?

Se fossemos analisar o mesmo triângulo só que fora do plano cartesiano, porém presenvando as suas medidas, teríamos:

Com isso, para descobrirmos a área do triângulo ABC teremos que fazer:

Ar. retângulo - Ar. triângulo azul - Ar. triângulo verde - Ar. triângulo amarelo

Apesar dos cálculos serem enormes, chegaríamos no resultado correto.

Como todos os triângulo desse desenho são triângulo retângulos, bastaria aplicar a fórmula Ar = b * h / 2 e a área do retângulo = b* h. Que teríamos nosso resultado

MAS, para aqueles que querem agilidade e facilidade, vou ensinar um outro método. Só que para aplicar essa outra alternativa tem que ter um conhecimento prévio sobre MATRIZ. Então, para aqueles que já sabem sigam em frente, para aqueles que ainda não sabem, tentem acompanhar, caso contrário, procure explicação, infelizmente no nosso site não há esse conteúdo, AINDA.

Bem, para descobrir a área do triângulo do plano cartesiano, basta substituir os valores nessa matriz-padrão:

Sabendo os valores do xa, xb, xc, ya, yb e yc, conseguimos tranquilamente descobrir qual a área daquele triângulo.

Equação geral da reta:

Sabendo usar a equação geral da reta podemos descobrir todos os pontos que quisermos de uma determinada reta. Para isso, precisamos conhecer no mínimo dois pontos dela para que assim estabeleçamos uma relação entre x e y e possamos formular uma equação.
Conhecendo os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb) de uma reta, vamos descobrir qual a equação para ela:

Dessa forma podemos encontrar quaisquer outros pontos dessa reta, sendo x e y valores que serão substituídos de acordo com o nosso interesse apenas DEPOIS que a Equação estiver pronta.

Uma outra forma que eu encontrei de fazer a mesma equação foi:

Esses valores que eu coloquei de xa e xb, poderiam ser trocados sem alterar o resultado. Ou seja, se eu colocasse (x - xb) e (y - yb) na primeira linha, na segunda linha eu poderia colocar xa - xb, ou xc - xb. 


Forma geral da equação:

Quando um exercício pedir para você a forma geral da equação, a equação que você encontrou deve estar da seguinte forma:

• ax + by + c = 0

Essa é a forma geral da equação, tendo a e b diferentes de zero.

CASOS:

• Se A = 0, teremos uma equação assim:

0x + by + c = 0

onde y = -c/b, ou seja, o nosso y terá um valor fixo e o x poderá assumir qualquer valor. Com isso, se formos representar essa equação no gráfico teremos uma reta PARALELA em relação ao eixo x.

• Se B = 0, teremos uma equação assim:

ax + 0y + c = 0

onde x = -c/a, teremos agora um valor fixo para x e o y poderá apresentar qualquer valor. Com isso, se formos representar essa equação no gráfico teremos uma reta PARALELA em relação ao eixo y.

• Se C = 0, teremos uma equação assim:

ax + by = 0

Caso isso ocorra e formos representar essa equação no gráfico, teremos uma reta em que o ponto (0, 0) está incluído como solução da equação. Ou seja, a reta passará pela origem.

Equação segmentária:

Vamos primeiramente provar como chegar nessa equação segmentária, certo?

Vamos dizer que temos uma reta com os pontos P = (p, 0) e Q = (0, q), e queremos descobrir qual a equação para essa reta. Faremos como visto acima:

Resolvendo esse determinante, ficará:

Essa é a equação segmentária, nos denominadores colocaremos os valores respectivamente do eixo das abscissas e das ordenadas.

Ex:

A equação segmentária desse gráfico é:

tendo no eixo y as coordenadas (0, 4) e no eixo x (2, 0)

Para transformarmos essa equação na equação geral da reta basta resolvermos o mmc, e deixar na forma que vimos anteriormente.

Coordenadas dos pontos da bissetriz dos 1º e 3º quadrantes:

Todo ponto da bissetriz do 1º e 3º quadrantes tem a abscissa e a ordenada iguais.
Considerando um P (xp, yp), teremos que yp = xp

Coordenadas dos pontos da bissetriz dos 2º e 4º quadrantes:

Todo ponto da bissetriz do 2º e 4º quadrantes tem a abscissa e a ordenada opostas (simétricas)
Considerando P (xp, yp), teremos que yp = - xp


Alinhamento de três pontos:
Considerando os pontos A = (xa, ya), B = (xb, yb) e C = (xc, yc), iremos fazer um determinante de 2ª ordem onde colocaremos na primeira linha a diferença das coordenadas de B e A, e na segunda linha a diferença das coordenadas de C e A.

Dessa forma:

Se o determinante for igual a ZERO, isso significa que os três pontos são COLINEARES, ou seja, pertencem a mesma reta.

Posição relativa de duas retas:

Retas em um plano cartesiano podem se apresentar de duas formas, sendo paralelas ou concorrentes.

Tendo as retas (r) a1x + b1y + c2 = 0 e (s) a2x + b2y + c2, vamos montar o determinante colocando nele os valores de a1, a2, b1 e b2.

DISCUSSÃO DO DETERMINANTE:

• Se D for diferente de zero

Dessa forma o sistema é determinado, ou seja, vai possui uma única solução, ou seja, um único ponto em que as retas irão se encontrar, sendo assim CONCORRENTES.

• Se D for igual a zero

Dessa forma o sistema será indeterminado, podendo ter infinitas soluções, ou será impossível, não tendo nenhuma solução, basta resolver o sistema para conferir quais dos dois ocorrerá. Serão então PARALELAS.

Posições relativas de 3 retas:

3 retas em um plano cartesiano podem ocupar essas posições:

Ao analisarmos as retas (r) e (t) teremos uma solução, caso essa solução seja verdadeira também na reta (s) significa que as três são concorrentes em um mesmo ponto.

Caso as retas (r) e (t) tenham um ponto em comum, mas a reta (t) não apresentar esse ponto, estamos lidando com suas retas paralelas concorrentes com uma.


Coeficiente angular:
O ângulo tratado nesse coeficiente é aquele que demonstra a inclinação da reta r em relação ao eixo x.

Observe as figuras:

Teremos que o coeficiente angular é igual ao valor da TANGENTE.
m = tg(a)

Lembrando:
tg(a) = cateto oposto/ cateto adjacente

ou

tg(a)  = sen(a)/cos(a)

Caso tenhamos ângulos como 135º, 120º que desconhecemos seus valores na tabela, podemos usar:

tg(a) = - tg (180 - a)

Ex: tg(135º) = - tg(180 -135) 
- tg 45 = -1


Como nem sempre sabemos a medida do ângulo de inclinação da reta r, vamos encontrá-lo de outra forma, observe:

Para retas paralelas o coeficiente angular, ou seja, o m = 0

Porém, em qualquer caso, podemos encontrar o coeficiente angular sabendo que ele é igual à razão entre a diferença das ordenadas y2 - y1, e a diferença das abscissas, x2 - x1, dos pontos B e A.

Coeficiente angular da reta de equação ax + by + c = 0

Se um reta r tem a equação ax + by + c = 0, com seu b diferente de zero, de modo com que r não seja paralela ao eixo y, vamos supor que A (x1, y1) e B (x2, y2) sejam dois pontos distintos que pertencem a essa reta. Então:

Equação reduzida:

Dado uma equação (r) ax + by + c = 0, sabemos que o seu coeficiente angular é m = -a/b, como vimos acima. Além disso, sabemos que se r interceptar o eixo y, teremos que esse ponto será Q (0, q).

A reta para esse ponto ficaria:
a(0) + b(q) + c = 0

Se isolássemos o "q", teremos o coeficiente linear da reta, ou seja, o ponto onde a reta corta o eixo y. (que é o mesmo que o "c" na nossa equação geral).

Com isso, o COEFICIENTE LINEAR é igual a

b(q) + c = 0

q = -c/b


Note que:
ax + by + c = 0
by = - ax - c
y = -ax/b - c/b

Lembrando que:

m = -a/c
q = -b/c

Portanto, essa equação fica:

y = mx + q


Nos outros casos descobrimos como achar a Equação da reta quando o enunciado der dois pontos dessa reta. Mas, podemos achar a Equação quando ele fornecer um ponto (x, y) e a direção, por exemplo, o coeficiente angular.

Se tivermos uma reta paralela a um dos eixos, teremos:

Temos que reta r é paralela ao eixo x e sua equação será:
y = yo
Já que ele seguirá uma reta contínua apenas onde corta o eixo y.

A reta s é paralela ao eixo y e sua equação será:
x = xo
Isso porque ela formará uma reta infinita onde ela cortar o eixo x, que no caso é no ponto xo.

Caso tenhamos uma reta com coeficiente angular:

Para descobrirmos a equação de um ponto qualquer dessa reta, conhecendo o ponto P (xo, yo):

Devemos nos lembrar que o coeficiente angular era:
m = y2 - y1/ x2 - x1

Nesse caso y1 e x1 será o ponto (P), ou seja, o ponto que conhecemos na reta.

Ficará assim:
m = y2 - yo / x2 - xo

Mas para deixar a equação um pouco mais bem vista, deixemos o y2, apenas como y

m = y - yo / x - xo

Multiplicando o (x- xo) com o m, teremos a fórmula que define qual a Equação da reta, tendo apenas o coeficiente angular e um ponto:

y - yo = m (x- xo)

Eu tinha um professor que nos ensinou uma maneira de decorar essa fórmula, basta lembrar:
iô iô emê xi xo    -> (y - yo = m (x - xo)
Bem, só uma tática para que você não esqueça dessa maneira de achar a equação.


Paralelismo:

Dizemos que a reta (r) e (s) são paralelas apenas se o coeficiente angular de r for igual ao coeficiente angular de s.

Ou seja:

ar = as

• Se o ar = as e ambos forem diferentes de 90º, temos que a tg(ar) = tg(as), logo m(r) = m(s)

• Se o ar = as e ambos forem iguais a 90º, como não existe a tg de 90º, não existirá nem m(r) e nem m(s).

Portanto, para que duas retas sejam paralelas, elas deverão possuir coeficientes angulares iguais ou ambas não devem possuir coeficiente angular.

Obtenção da reta paralela:

Dado um ponto P e uma reta r, sabemos que existe apenas uma reta s que é paralela a r e que passa por P.

Para descobrir qual a equação da reta s, temos dois casos a considerar:

• Se não existe coeficiente angular, ou seja, o ângulo for 90º então r // eixo y (// significa paralela). Se r for paralela ao eixo y, a reta s também é.

Se a reta for paralela ao eixo y, não haverá nenhum ponto que corte nele, portanto y = 0, a equação ficará apenas x = xo

• Se existir um coeficiente angular, então mr = ms. Nesse caso para descobrir a equação da reta s, basta fazer y - yo = m(x - xo)

Espero que tenha ajudado vocês!