Deduzindo algumas fórmula de uma função do 2º grau

Temos que uma função do 2º grau é representada da seguinte forma:
f(x) = a² + bx + c

Para determinamos as raízes da função (zeros da função), basta admitir que o f(x) = 0.

Devemos saber também o que é um quadrado perfeito, que nada mais é um número inteiro, não negativo, que pode ser expresso como o quadrado de um outro número, exemplo:

1² = 1
2² = 4
3² = 9

Ou seja, números que são quadrados perfeitos, como visto, são: 1, 4, 9, já que podem ser escritos como o quadrado de um outro número.

Bem, agora vamos na dedução de algumas fórmulas. Isso é importante porque muitas vezes queremos decorar todo tipo de fórmula, só que é muito mais fácil ENTENDERMOS o porquê daquela fórmula ser daquele jeito do que simplesmente ficar tentando "enfiar" aquilo em nossa cabeça.

• Discriminante (representado pelo delta):

Tendo a função: ax² + bx + c = 0, vamos multiplicá-la por 4a.

Resultado: 4a²x² + 4abx + 4ac = 0

Vamos adicionar nos dois membros um b² para conseguirmos formar um quadrado perfeito.

Resultado:

4a²x² + 4axb + 4ac + b² = b²

Temos agora um quadrado perfeito, que pode ser escrito como:
(2ax + b) ² 

Conferindo:  4a²x² + 2*(2axb)(b) + b² = 4a²x² + 4axb  + b²

Voltando a fórmula:

(2ax + b)² + 4ac = b²
Com isso:
(2ax + b)² = b² - 4ac

b² - 4ac é o resultado de um quadrado perfeito, ele vai discriminar a natureza das raízes (por isso é chamado de discriminante)

Vamos continuar os cálculos:

Colocando b² - 4ac = (Δ)

(2ax + b)² = √Δ
2ax + b = √Δ

x = -b ± √Δ/ 2a

Agora vocês sabem como se deu a construção da fórmula de Bhaskara.

• Soma das raízes:

Sendo as raízes x1 e x2, teremos:

x1 + x2 = -b + √Δ - b - √Δ / 2a

x1 + x2 = -2b/2a

x1 + x2 = -b/a

• Produto das raízes:

Sendo as raízes x1 e x2, teremos:

x1 * x2 = (-b + √Δ) * (- b - √Δ) = b² + b√Δ - b√Δ - √Δ² 

                            2a * 2a                       4a²

x1 * x2 = b² - (b² - 4ac) / 4a²

x1 * x2 = b² - b² + 4ac / 4a²

x1 * x2 = c/ a

• X do vértice:

Sabemos que o Xv é o ponto médio do segmento que une as raízes:

Vemos que x1xv = x2xv
E podemos afirmar também que Xv = x1 + x2/ 2

Vimos anterirormente que x1 + x2 = soma das raízes, que é -b/a

Substituindo:

Xv = -b/a/2

Xv = -b/2a

• Y do vértice:

Para obtermos o Yvértice, vamos substituir na função f(x), x = x do vértice

f(xv) = a²x + bx + c
Yv = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c
Yv = ab²/4a² - b²/2a + c
Yv = b²/4a - b²/2a + c
Yv = b² - 2b² + 4ac/4a
Yv = -b² + 4ac/4a
Yv = -(b² - 4ac)/4a

Yv = -Δ /4a


Com isso teremos as coordenadas (xv/yv) = (-b/a; -Δ /4a)




Espero ter ajudado!! :D
Qualquer dúvida, estamos aqui.