Problemas de otimização (Cálculo I)

1-) Um fazendeiro quer cercar uma área de 1,5 milhão de pés quadrados num campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?

2-) Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume de 32.000 cm². Encontre as dimensões da caixa que minimizar a quantidade de material utilizado.

3-) Se 1.200 cm² de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.

4-) Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 10 m³. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa $10 por metro quadrado. O material para os lados custa $ 6 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato dos contêineres. 

5-) As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a menor área.

Respostas:

1- 

Essa é a figura que ele deseja cercar. 

Sabemos que a área que ele quer cercar é: 1,5 milhões de pés

Logo A = 1.500.000 pés

Sabemos também que A = x.y = 1.500.000

O perímetro de cerca que vamos usar é:

P = 2x + 2y + x (referente a cortar esse campo ao meio)

O que temos que otimizar é o perímetro, ou seja, a quantidade de cerca gasta.

Vamos deixar o perímetro apenas em função de x:

y = 1.500.000/x

Logo:

P(x) = 3x + (2*1.500.000)/x

P(x) = 3x + 3.000.000/x

Derivando:

P'(x) = -3.000.000/x² + 3

P'(x) = (-3.000.000 + 3x²)/x²

Descobrindo os números críticos:

x = 0 e x = 1.000

Porém zero não pertence ao domínio.

Descobrindo o mínimo local, temos:

P'(1) < 0

P'(15000) > 0

Temos:

Logo, temos um mínimo local em x = 1000 pés

1.500.000 = x*y

1.500.000/1000 = y

y = 1500 pés

Conclui-se então que a forma de minimizar os custos da cerca é ter como dimensão dessa área a ser cercada x= 1000 pés e y = 1500 pés.

2-

V = x².y = 32.000 cm²

P = x² + 4x.y

y = 32.000/x²

P(x) = x² + x.32.000.4/x²

P(x) = x² + 128.000/x

P'(x) = 2x - 128.000/x²

P'(x) = (2x³ - 128.000)/x²

Se x = 0

2x³ - 128.000 = 0

x³ = 64.000

x = 40 cm

Descobrindo o mínimo local:

P'(1) < 0

P'(2) > 0

Logo para minimizar a quantidade de material usado x = 40 cm

x².y = 32.000

1600.y = 32.000

y = 20 cm

As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material gasto é x = 40 cm e y = 20 cm

3- 

Perímetro: 1.200 = x² + 4x.y

Vol = x².y

y = (1200 - x²)/4x

V(x) = x².(1200 - x²)/4x

V(x) = x.(1200 - x²)/4

V(x) = 300x - x³/4

V'(x) = 300 - 3.x²/4

V'(x) = 0

Se 3x² 1200

x² = 400

x = 20 cm

Logo:

y = (1200 - (20)²)/ 4.20

y = 10

Com isso, temos que o maior volume possível da caixa, será:

V= x².y = (20)².10 = 4000 cm³

4-

V = x.2x.y = 2x².y = 10

A = 2x.x.10 + 2.x.y.6 + 2.2x.y.6

A = 20x² + 12xy + 24 xy

A = 20x² + 36xy

y = 10/2x²

y = 5/x²

Substituindo em A:

A(x) = 20x² + (36.x.5)/x²

A(x) = 20x² + 180/x

A'(x) = (40x³ - 180)/x²

40x³ - 180 = 0

x = 1,65

Encontrando o valor de y:

y = 5/x²

y = 1,836

A = 20.(1,65)² + 36.1,65.1,836

A = 163,5

Conclui-se então que o custo dos materiais para o mais barato de tais contêineres seria de $ 163,5.

5- 

A(impressa) = x.y = 384

A(total) = (x + 8).(y + 12)

At = x.y + 12x + 8y + 96

y = 384/x

At(x) = 384 + 12x + 3072/x + 96

At(x) = 480 + 12x + 3072/x

A't(x) = 0 + 12 - 3072/x²

A't(x) = (12x² - 3072)/x²

A't(x) = 0

Se 12x² - 3072 = 0

x² = 3072/12

x = 16

Sendo assim, um dos lados do pôster é x + 6 = 16 + 6 = 22 cm

y = 384/16 = 24

O outro lado do pôster é y + 12 = 24 + 12 = 36 cm

Sendo assim a dimensão do pôster para que ele tenha a menor área é 22 cm x 36 cm